[백준 - 1026] 보물 - C++

분류: 정렬, 그리디, 수학 /

 

문제

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문제 설명

옛날 옛적에 수학이 항상 큰 골칫거리였던 나라가 있었다. 이 나라의 국왕 김지민은 다음과 같은 문제를 내고 큰 상금을 걸었다.

길이가 N인 정수 배열 A와 B가 있다. 다음과 같이 함수 S를 정의하자.

S = A[0] × B[0] + ... + A[N-1] × B[N-1]

S의 값을 가장 작게 만들기 위해 A의 수를 재배열하자. 단, B에 있는 수는 재배열하면 안 된다.

S의 최솟값을 출력하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 N이 주어진다. 둘째 줄에는 A에 있는 N개의 수가 순서대로 주어지고, 셋째 줄에는 B에 있는 수가 순서대로 주어진다. N은 50보다 작거나 같은 자연수이고, A와 B의 각 원소는 100보다 작거나 같은 음이 아닌 정수이다.

출력

첫째 줄에 S의 최솟값을 출력한다.

 

풀이

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
    int N; cin >> N;
    int A[N], B[N], freqA[101]{}, freqB[101]{};
    for(int i=0; i<N; i++) { cin >> A[i]; freqA[A[i]]++; }
    for(int i=0; i<N; i++) { cin >> B[i]; freqB[B[i]]++; }
    for(int a=0, idx=0; idx<N; a++) {
        while(freqA[a]) {
            A[idx++] = a;
            freqA[a]--;
        }
    }
    for(int b=0, idx=0; idx<N; b++) {
        while(freqB[b]) {
            B[idx++] = b;
            freqB[b]--;
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i=0; i<N; i++) ans += A[i] * B[N-1-i];
    cout << ans;
}

 

문제에서는 B를 재배열하라 하지 말라했지만 합을 구하는 문제이기 때문에 그냥 재배열 해도된다.

A와 B를 counting sort로 정렬하고 엊갈려 곱한 합을 구하면 된다.

 

엊갈려 곱한는 것이 더 작은 값임은 다음과 같이 증명할 수 있다.

$$\text{if }a_1\le a_2,\quad b_1\le b_2\\[0.75em]a_1\le a_2\\a_1(b_2-b_1)\le a_2(b_2-b_1)\\a_1\times b_2-a_1\times b_1\le a_2\times b_2-a_2\times b_1\\[0.5em]\therefore a_1\times b_2+a_2\times b_1\le a_1\times b_1+a_2\times b_2$$