[백준 - 17626] Four Squares - C++

분류: DP /

 

문제

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문제 설명

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 5²과 1²의 합이다; 또한 4² + 3² + 1²으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 125² + 6² + 1² + 1²라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 105² + 15² + 8² + 5².

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

 

풀이

#include <iostream>
using namespace std;
const int MAX = 4;
int min(int a, int b) {return a < b ? a : b;}
int dp[50001];

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
    int N; cin >> N;
    dp[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= N; i++) {
        dp[i] = MAX;
        for(int j=1; j*j <= i; j++)
            dp[i] = min(dp[i], dp[i-j*j]);
        dp[i]++;
    }
    cout << dp[N];
}

n = a² + b 라면 `dp[n] = dp[b] + 1`다.

따라서 n보다 작은 제곱수 a²에 대해 `dp[b]`값이 최소일 때 `dp[n]`이 최소이다.

b = n - a² 이므로 min(dp[n]) = min(dp[n - a²]) + 1 이다.