[백준 - 11444] 피보나치 수 6 - C++

 

 

분류: 분할 정복, 수학 /

 

문제

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문제 설명

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 F_n = F_n-1 + F_n-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 출력한다.

 

풀이

#include <iostream>
#include <unordered_map>
#define ll long long
using namespace std;

unordered_map<ll, ll> memo = {{0, 0}, {1, 1}};

ll fibo(ll n) {
    if(memo.find(n) == memo.end()) {
        if(n & 1) memo[n] = fibo(n/2) * fibo(n/2) + fibo(n/2+1) * fibo(n/2+1);
        else memo[n] = fibo(n/2) * (fibo(n/2) + 2*fibo(n/2-1));
        memo[n] %= 1000000007;
    }
    return memo[n];
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
    ll n; cin >> n;
    cout << fibo(n);
}

 

`n`의 최댓값이 1,000,000,000,000,000,000으로 선형 알고리즘으로도 시간초과다. 따라서 log 알고리즘을 생각해야한다.

피보나치 점화식을 조작하여 $F_n$을 $F_{\frac n 2}$에 대한 식으로 나타낼 수 있고 이를 이용해 분할 정복 알고리즘으로 log 시간복잡도로 구현가능하다.

 

$$\begin{align*}F_p&=F_{p-1}+F_{p-2}\\&=2F_{p-2}+F_{p-3}\\&=3F_{p-3}+2F_{p-4}\\&=5F_{p-4}+3F_{p-5}\\&=8F_{p-5}+5F_{p-6}\\&=13F_{p-6}+8F_{p-7}\\&\qquad\vdots\\&=F_{k+1}F_{p-k}+F_kF_{p-(k-1)}\\\end{align*}\\[1.5em]\text{let }n=k,m=p-k\\[0.5em]F_{n+m}=F_{n+1}F_m+F_nF_{m-1}\\[1.5em]\text{when }m=n\\[0.5em]\begin{align*}F_{2n}&=F_{n+1}F_n+F_nF_{n-1}\\&=F_n(F_n+F_{n-1})+F_nF_{n-1}\\&=F_n(2F_{n-1}+F_n)\end{align*}\\[1.5em]\text{when }m=n+1\\[0.5em]\begin{align*}F_{2n}&=F_{n+1}F_{n+1}+F_nF_n\\&=F_n^2+F_{n+1}^2\\\end{align*}\\[1em]\therefore F_n = \begin{cases}F_{\frac n 2}(2F_{\frac n 2 -1}+F_{\frac n 2}) &\text{if } n=2k\\F_{\frac n 2}^2+F_{\frac n 2 + 1}^2 &\text{if } n=2k+1\end{cases}$$